Четность. 5-6 класс.

26 февраля 2015 г.

1. Тётушка Чётушка пишет на доску одно целое число, а дядюшка Нечётов — другое. Если
произведение чётно, победителем объявляют Чётушку, если нечётно, то Нечётова. Может ли
один из игроков играть так, чтобы непременно выиграть?

2. Можно ли доску 19 × 19 покрыть тетраминошками в виде букты Т ?

3. Чётным или нечётным является число:
а) 1 + 2 + 3 + . . . + 2012;
б) 1 + 2 + 3 + . . . + 2013;
в) 1 + 3 + 5 + . . . + 2011;
г) 1 × 2 + 3 × 4 + . . . + 2011 × 2012;
д) 1 × 3 + 5 × 7 + . . . + 2013 × 2015;
е) 2012 − 2011 + 2010 − 2009 + . . . + 2 − 1;
ж) 2013 − 2012 + 2011 − 2010 + . . . + 1;
з) (2012^2 − 1)(2010^2 − 1) . . . (2^2 − 1);
и) (2013^2 − 1)(2011^2 − 1) . . . (3^2 − 1).

4. Восемь классов школы 224 построились на линейку. Известно, что число ребят, стоящих
в любых двух соседних отрядах, отличается на 1. Может ли общее количество ребят равняться
101?

5. Артур перемножил 17 целых чисел и получил 1025, а Коля сложила эти же числа и
получила 100. Докажите, что кто-то из них ошибся.

6. Можно ли первые шестнадцать простых чисел расставить в клетки квадрата 4 × 4 так,
чтобы он стал магическим (квадрат называется магическим, если суммы чисел, записанных в
столбцах, строках и главных диагоналях равны).

7. Полина на 99 карточках написала числа 1, 2, . . . , 99 перевернула чистыми сторонами
вверх. Пришел Антон, перемешал их и снова написал на чистой стороне числа 1, 2, . . . , 99. Для
каждой карточки они нашли сумму написанных на ней чисел и 99 полученных сумм перемно-
жили. Четным или нечетным оказался полученный результат?

8. Из пяти целых чисел можно образовать 10 сумм. Могут ли они оказаться десятью после-
довательными натуральными числами?

9. Можно ли числа от одного до двадцати расставить в вершинах и на рёбрах куба так, чтобы
каждое число на ребре было равно среднему арифметическому чисел, стоящих на концах этого
ребра? (Средним арифметическим двух чисел называется полусумма этих чисел.)